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Link zu Zoom auf ILIAS

In der Vorlesung Quantengruppen wird die algebraische Version der Quantengruppen untersucht. Die Grundlagen, um dies zu ermöglichen, werden nach Wissenslage der Zuhörerschaft genauer erläutert. Wissen über die im folgenden vorkommenden Begriffe ist somit nicht zwingend notwendig.
Die Vorlesung wird mit einer Einführung in die Theorie der Hopf-Algebren starten, denn Quantengruppen sind im Widerspruch zu ihrem Namen keine Gruppen sondern (Hopf-)Algebren. Nach einigen Klassifikationssätzen aus dem Bereich der Hopf-Algebren werden wir zunächst die Quantengruppe \(\operatorname{U}_q(\mathfrak{sl}_2)\) einführen und untersuchen. Auch die Darstellungstheorie von \(\operatorname{U}_q(\mathfrak{sl}_2)\) werden wir als Beispiel erarbeiten. Dies wird den Einstieg in die allgemeine Theorie erleichtern, aber auch ein Werkzeug für diese sein. Die Quantengruppen werden dann als Deformationen von universellen einhüllenden Algebren definiert. Wir werden uns zunächst Eigenschaften der Quantengruppen widmen (Hopf-Struktur, Dreieckszerlegung, Involution, PBW-Theorem,...) bevor wir auch hier die Darstellungstheorie untersuchen (Klassifikation der irreduziblen Moduln, Verma-Moduln, R-Matrizen,...). Als Exkursion werden wir Quantengruppen anwenden um eine wichtige Invariante aus der Knotentheorie zu bestimmen; das Jones Polynom eines orientierten Knoten. Die Vorlesung schließt mit den Kristallbasen; beinahe Basen der irreduziblen Darstellungen von Quantengruppen mit guten kombinatorischen Eigenschaften. Ziel ist das Littelmann-Pfad-Modell einzuführen, das die kombinatorischen Eigenschaften der Kristallbasen wiedergibt. Voraussetzung für die Vorlesung ist die Vorlesung Algebra. Vorlesungen oder Seminare aus dem Bereich Darstellungstheorie oder Lie Theorie sind hilfreich aber nicht notwendig.
Die Vorlesung wird Hybrid auch über Zoom übertragen (Der Link findet sich im ILIAS Kurs). Weiterhin werden Aufnahmen der Vorlesung auf ILIAS veröffentlicht. Die Vorlesung findet Montag um 14 Uhr und Mittwochs um 10 Uhr im Seminarraum 2 des Mathematischen Instituts statt.

Literatur

J. C. Jantzen (1995), "Lectures on Quantum Groups", Graduate studies in Mathematics, American Mathematical Society
G. Lusztig (2010), “Introduction to Quantum Groups“, Cambridge, Birkhäuser
C. Kassel (1995), “Quantum groups“, Graduate Texts in Mathematics 155, Springer